BAB II

PEUBAH ACAK dan DISTRIBUSI PELUANG

Tujuan Instruksional dari Pendahuluan ini, agar pembaca dapat :

  1. Menjelaskan dan membedakan peubah acak diskrit dan kontinu
  2. Menjelaskan ciri-ciri distribusipeluang  peubah acak diskrit dan kontinur
  3. Menjelaskan cara pembuatan distribusi empiris

A. PENGERTIAN

PEUBAH ACAK adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel

Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan (R) dan 2 logam lima puluhan (L). 3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian, maka ruang sampel yang mungkin adalah S = {RRR, RRL, RLR, RLL, LRR, LRL, LLR}. Apabila dari percobaan pengambilan 3 uang logam tersebut,  ditetapkan peubah acak X yang menyatakan jumlah uang logam ratusan yang muncul, maka diperoleh hasil percobaan sebagai berikut :

Ruang sampel X
RRR 3
RRL 2
RLR 2
LRR 2
RLL 1
LRL 1
LLR 1

Apabila dari percobaan diatas, ditetapkan peubah Y yang menyatakan jumlah uang logam lima puluhan yang muncul, maka diperoleh hasil percobaan sebagai berikut

Ruang sampel Y
RRR 0
RRL 1
RLR 1
LRR 1
RLL 2
LRL 2
LLR 2

Jika Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, maka nilai dari setiap peubah acak tersebut dinyatakan dengan huruf kecil, sehingga apabila ruang sampel tersebut dinyatakan dengan cara pencirian adalah

S = { X | x adalah jumlah ulang logam ratusan yang muncul }

S = { Y | y adalah jumlah uang logam limapuluhan yang uncul }

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit

Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang takberhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu

B. DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

Himpunan pasangan terurut {x,f(x)} suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau distribusi peluang peubah acak x, bila untuk setiap kemungkinan hasil x, berlaku

1.

2.

3.

Suatu pengiriman 7 pesawat televisi berisi 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli 3 pesawat televisi tersebut dan memilih secarak acak dari pengiriman tersebut. Bila X menyatakan banyaknya pesawat rusak yang dibeli hotel tersebut, nyatakan hasilnya dalam distribusi peluang.

Apabila pesawat televisi yang rusak dinyatakan dengan R dan yang tidak rusak dinyatakan dengan B, maka ruang sampel yang mungkin adalah

S = { RRB,RBR.RBB,BRR,BRB,BBR,bbb }

Apabila X menyatakan jumlah pesawat televisi yang rusak, maka ruang sampel yang mungkin dan jumlah pesawat televisi rusak yang dibeli adalah sebagai berikut

:

Ruang sampel X
BBB 0
RBB,BRB,BBR 1
RRB,RBR,BRR 2

Berdasarkan ruang sampel diatas, maka distribusi peluangnya adalah sebagai berikut :

X P(X=x)
0 1/7
1 3/7
2 3/7

Distribusi Kumulatif F(x) suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh

untuk

Distribusi kumulatif dari percobaan pengiriman pesat televisi diatas adalah sebagai berikut;

X
0 1/7
1 4/7
2 7/7

C. DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

Fungsi f(x) dalah fungsi padat peluang peUbah acak kontinu X yang didefinisikan diatas himpunan semua  bilangan real R, bila

1. untuk semua

2.

3.

Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin pengisap debu setahun berbentuk peubah acak kontinu X dengan fungsi padat

a.    Tunjukkan bahwa syarat 2 dalam definisi terpenuhi

b.    Tentukan P (X < 120 jam)

c.    Tentukan P (50 < x < 100 )

Distribusi Kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh :

untuk

D. DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN

Fungsi f(x,y) adalah fungsi distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang peubah acak diskrit X dan Y bila

untuk semua (x,y)

Untuk tiap daerah A di bidang xy, P(X,Y)

Dari suatu bungkus buah2an yang berisi 3 jeruk, 2 mangga dan 3 pisang dipilih secara acak 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y menyatakan mangga dalam sampel tersebut, hitungkah

a.    Distribusi peluang gabungan X dan Y

Jumlah titik sampel jeruk yang terpilih adalah untuk x = 0, 1, 2, 3

Jumlah titik sampel mangga yang terpilih adalah  untuk y = 0,1,2

Jumlah titik sampel pisang yang dipilih adalah  untuk x=0,1,2,3 dan y = 0,1,2

Jumlah titik sampel 4 buah yang diambil dari 8 buah yang tersedia adalah

F(x,y) X Jumlah baris
0 1 2 3
Y 0 3/70 9/70 3/70 15/70
1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70
2 3/70 9/70 3/70 15/70
Jumlah kolom 5/70 30/70 30/70 5/70 1

b.    P {(X,Y)A}, bila A menyatakan daerah {(x,y)|x+y}

f (0,0) + f (0,1) + f (0,2) + f (1,0) + f (1,1) + f (2,0) =

0 + 2/70 + 3/70 + 3/70 + 18/70 + 9/70 = 35/70

Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X dan Y bila

1. untuk semua

2.

3.

Contoh : Dua peubah acak mempunyai fungsi padat gabungan sebagai berikut :

Hitunglah

=  =  = = 9/16 (1/4-1/64) = 135/256

Distribusi marginal (pias) dari X sendiri dan Y sendiri didisefinisikan sebagai

untuk diskrit

untuk kontinu

Dari contoh percobaan pengambilan buah-buahan, maka P(X=0)= f (0,1) + f (0,2)= 2/70 + 3/70 = 5/70 .

Dari contoh berikutnya , sehingga g(1) = 2

, sehingga g(1) = 2

Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskrit maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y bila diketahui X=x dinyatakan oleh

syarat g(x) > 0

Begitu pula distribusi bersyarat peubah acak X bila diketahui Y=y dinyatakan oleh  syarat h(y)>0

Kembali ke contoh percobaan pengambilan buah-buahan, maka untuk menghitung probabilitas untuk y=1 adalah :

untuk x = 0,1,2,3

h(1) = 40/70

dengan demikian, maka

E. DISTRIBUSI EMPIRIS

Dalam kegiatan penelitian, sosial maupun bisnis sering dijumpai sejumlah besar data tentang sesuatu yang diamati/diukur. Hasil survey terhadap 40 responden yang diambil secara acak menunjukkan beragam latarbelakang demografinya dan preferensinya terhadap produk tertentu. Untuk mendapatkan karakteristik dari responden tersebut agar mudah dikenali dengan benar dan cepat dilakukan  pengelompokkan data dalam bentuk tabel dan diagram dengan konsekuensi karakteristik dari setiap individu/ objek pengamatan tidak terlihat.

Data dapat disajikan dalam bentuk Tabel dengan cara mengelompokkan data kedalam katagori/kelas tertentu kemudian dihitung banyaknya pengamatan yang termasuk kedalamnya, misalnya tingkat pendidikan dari 40 responden dapat ditunjukkkan dalam Tabel II.1 dan Diagram II-1

Tabel II.1 Usia Responden
Usia Responden Frekuensi Frekuensi Kumulatif
Jml % Jml %
Remaja 7 18 7 18
Muda 11 27 18 45
Dewasa 9 23 27 68
Tua 13 32 40 100
Jumlah 45 100

Tabel kontigensi dibuat untuk menyajikan data yang memiliki lebih dari satu karakteristik, misalnya sikap responden berdasarkan kelompok usia seperti ditunjukkan dalam Tabel II-2 dan Diagram II-2

Tabel II-2 Usia dan Preferensi Responden Terhadap Produk
Usia responden Suka Cukup Suka Tidak Suka
Jumlah % Jumlah % Jumlah %
Remaja 4 33.33 1 7.69 2 13.33
Muda 5 41.67 3 23.08 3 20.00
Dewasa 1 8.33 5 38.46 3 20.00
Tua 2 16.67 4 30.77 7 46.67
Jumlah 12 100 13 100 15 100

Untuk menyajikan Tabel frekuensi dari data rasio dibutuhkan 6 tahapan berikut:

  1. Tentukan banyaknya kelas (K) yang diperlukan

Ada 2 cara yang dapat dilakukan , yaitu (a) Tetapkan secara bebas antara 5-15 kelas atau (b) Gunakan rumus Sturges K = 1 + 3.322 log N, yang mana K adalah jumlah kelas dan N jumlah data

  1. Tentukan Wilayah/Range (R) data tersebut, yang dihitung dari perbedaan data terbesar dengan data terkecil (  )
  2. Tentukan Interval Kelas (i) dengan membagi Wilayah dengan jumlah kelas yang telah ditetapkan (  )
  3. Tentukan Limit Kelas.

Limit sebuah kelas memiliki desimal yang sama dengan data aslinya dan terdiri dari Limit Kelas Bawah (LKB) dan Limit Kelas Kelas (LKA). LKB sebuah kelas dan tidak boleh berimpit dengan LKA kelas berikutnya untuk menghindari kebingungan/ kesalahan dalam pengelompokkan data

  1. Tentukan Batas Kelas

Untuk kepentingan pembuatan diagram untuk bilangan kontinu, maka dibuat Batas Kelas sedemikian sehingga Batas Kelas Atas suatu kelas berimpit dengan Batas Kelas Bawah kelas berikutnya.

  1. Tentukan frekuensi bagi setiap kelas

Berdasarkan survey, tingkat bunga antar Bank perbulan selama 40 bulan terakhir tercatat sebagai berikut :

Periode % Periode % Periode % Periode %
Mrt 2003 2.2 Jan2004 3.5 Nov 3.2 Sept 3.0
April 3.4 Febr 3.1 Des 3.8 Okt 3.0
Mei 2.5 Maret 3.4 Jan2005 2.9 Nov 4.7
Juni 3.3 April 3.7 Febr 3.2 Des 3.9
Juli 4.7 Mei 3.2 Marel 3.9 Jan2006 1.9
Agust 4.1 Juni 4.5 April 3.9 Februari 4.2
Sept 1.6 Juli 3.3 Mei 3.7 Maret 2.6
Okt 4.3 Agust 3.6 Juni 3.1 April 3.7
Nov 3.1 Sept 4.4 Juli 3.3 Mei 3.1
Des 3.8 Okt 2.6 Agust 4.1 Juni 3.4

Untuk menyusun tabel frekuensi dari dari bunga diatas adalah sebagai berikut :

1.      Jumlah kelas untuk mengelompokkan tingkat bunga selama 40 bulan ditetapkan 7 kelas

2.      Tingkat bunga tertinggi selama 40 bulan 4.7% dan tingkat bunga terendah adalah 1.6% sehingga Range (R) = 4.7 – 1.6 = 3.1

3.      Interval Kelas (i) = , dibulatkan menjadi 0.5

4.   Limit Kelas dari ketujuh kelas tersebut adalah sebagai berikut :

1.6 – 2.0

2.1 – 2.5

2.5 – 3.0

3.1 – 3.5

3.6 – 4.0

4.1 – 4.5

4.6 – 5.0

  1. Masukkan setiap data bunga kedalam interval kelas yang ditetapkan sebagi berikut

:

Suku Bunga Antar Bank Frekuensi
Jml P(X)
1.6 – 2.0 2 5.0
2.1 – 2.5 1 2.5
2.6 – 3.0 4 10.0
3.1 – 3.5 15 37.5
3.6 – 4.0 10 25.0
4.1 – 4.5 5 12.5
4.6 – 5.0 3 7.5
Jumlah 40 100

Bentuk tabel diatas dapat lebih disempurnakan dengan menambahkan data batas kelas, nilai tengah kelas, kumulatif ”kurang dari” dan kumulatif ”lebih dari” seperti ditunjukkan berikut ini.

Suku Bunga Antar Bank Suku Bunga Antar Bank Nilai Tengah Suku Bunga Frekuensi Frek.Kumulatif ”kurang dari” Frek.Kumulatif ”lebih dari”
Jml % Jml % Jml %
1.6 – 2.0 1.55 – 2.05 1.7 2 5.0 2 5.0 40 100.0
2.1 – 2.5 2.05 – 2.55 2.2 1 2.5 3 7.5 38 95.0
2.6 – 3.0 2.55 – 3.05 2.7 4 10.0 7 17.5 37 92.5
3.1 – 3.5 3.05 – 3.55 3.2 15 37.5 22 55.0 33 82.5
3.6 – 4.0 3.55 – 4.05 3.7 10 25.0 32 80.0 18 45.0
4.1 – 4.5 4.05 – 4.55 4.2 5 12.5 37 92.5 8 20.0
4.6 – 5.0 4.55 – 5.05 4.7 3 7.5 40 100.0 3 7.5

REFERENSI

1.        Walpole, Ronald., H Myers, Raymond., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan., Penerbit ITB., edidi keempat., 1989

2.        David C Howell., Statistical Methods for Psychology., Duxbury Press., Third Edition., 1992

3.        Riduwan.,Drs., MBA., Skala Pengukuran Variabel-Variabel Penelitian., Penerbit Alfabeta Bandung.,cetakan ketiga Januari 2005

4.        Ronald E. Walpole., Pengantar Statistika., PT Gramedia., Edisi ketiga., Jakarta., 1988

5.        Sugiarto.,dkk., Teknik Sampling., Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama., Jakarta 2003